Định nghĩa và cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Góc giữa 2 mặt phẳng là một trong những nội dung rất quan trọng trong chương trình học lớp 11. Dưới đây là định nghĩa, cách xác định và phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng chính xác nhất.

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

Để giúp các bạn nắm vững kiến thức về góc giữa 2 mặt phẳng, đầu tiên chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm của góc giữa 2 mặt phẳng.

Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có:

• Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,
• Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Để có thể xác định chính xác góc giữa 2 mặt phẳng bạn áp dụng những cách sau:

Gọi P là mặt phẳng 1, Q là mặt phẳng 2

Trường hợp 1: Hai mặt phẳng (P), (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc của 2 mặt phẳng bằng 0,

Trường hợp 2: Hai mặt phẳng (P), (Q) không song song hoặc trùng nhau.

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (Nguồn: Internet)

Cách 1: Dựng 2 đường thẳng n và p vuông góc lần lượt với 2 mặt phẳng (P), (Q). Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa 2 đường thẳng n và p.

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (Nguồn: Internet)

Cách 2: Để xác định góc giữa 2 mặt phẳng đầu tiên bạn cần xác định giao tuyến ∆của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Tiếp theo, bạn tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến ∆của 2 mặt phẳng (P), (Q) và cắt 2 mặt phẳng tại các giao tuyến a, b.

⇒Góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa a và b.

Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Có 2 phương pháp bạn có thể áp dụng để tính góc giữa 2 mặt phẳng:

Phương pháp 1: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý hàm số sin, hàm số cos.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là ABCD và độ dài các cạnh đáy bằng a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Hình minh họa (Nguồn: Internet)

Bài giải:

Gọi I là trung điểm đoạn SA. Ta có tam giác SAD và tam giác SAB đều

Suy ra BI ⊥SA, DI ⊥SA => SAB,SAD^=BI, DI^

Áp dụng định lý cosin vào tam giác BID ta được:

cos góc BID =IB2+friend.com.vn = 32a2+32a2-a222.32a.32a

Suy ra góc (SAB),(SAD) = 1/3

Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c mà (Q) giao với (R) = a, (P) giao với (R) = b. Suy ra (P)^ = (Q)^ = (a,b)^

Hình minh họa (Nguồn: Internet)

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, cạnh đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Hình minh họa (Nguồn: Internet)

Bài giải:

Theo đề bài ta có ABCD là nửa lục giác đều nên AD = DC = CB = a

Dựng đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với mặt phẳng (SCD)

Trong mặt phẳng (ABCD) dựng AH vuông góc với CD tại H => ta có CD vuông góc với mặt phẳng (SAH).

Trong mặt phẳng (SAH) dựng AP vuông góc với SH => ta có CD vuông góc với AP => AP vuông góc với mặt phẳng (SCD).

Tiếp theo, dựng đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Trong mặt phẳng (SAC) dựng đường AQ vuông góc với SC,

Vì BC vuông góc với AC, BC vuông góc với SA => BC vuông góc với mặt phẳng (SAC) => BC vuông góc với AQ.

Vậy AQ vuông góc với mặt phẳng (SBC).

=> Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD) chính là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng ấy là AP và AQ.

Ta có :

AH = AD2-HD2=a2-a24=a32⇒1AP2=1AS2+1AH2⇒AP=a35

Ta có tam giác SAC vuông cân tại A

⇒AQ=SC2=a62

Mặt khác tam giác APQ vuông tại P

⇒cosPAQ^=APAQ=105⇒PAQ^=arccos105

Một số bài tập áp dụng

Dưới đây sẽ là một số bài tập để có thể giúp các bạn hiểu hơn về cách tính góc giữa hai mặt phẳng.

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tâm giác vuông cân tại điểm B. SA = a và vuông góc với (ABC). Cho AB =BC = a. Yêu cầu: Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Hình minh họa (Nguồn: Internet)

Bài giải:

Theo đề bài ta có (SAC) giao với (SBC) = SC,

Gọi F là trung điểm đoạn AC. Suy ra BF vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Dựng BK vuông góc với SC tại K

⇒SC⊥BKF⇒SAC,SBC^=KB,KF^=BKF^

∆CFK~∆CSA⇒FKFC=SASC⇒FK=FC.SASC=a32aa3=a6

Tam giác BFK vuông tại F

⇒tanBKF^=FBFK=a22a6=3⇒BKF^=600=SAC, SBC^

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, độ dài đoạn AB = a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A ta lấy một điểm D. Yêu cầu: Tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC). Biết (DBC) là tam giác đều.

Hình minh họa (Nguồn: Internet)

Bài giải:

Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC)

Dựa vào công thức diện tích hình chiếu của đa giác ta được: S∆ABC=S∆DBC.cosα

Mà S∆DBC=12DB.DC.sin600=12a2.a2.32=a232

Mặt khác S∆ABC=12AB.AC=12a2

⇒cosα=S∆ABCS∆DBC=33⇒α=arcos33

Hy vọng với những chia sẻ trên các bạn đã có thể hiểu rõ hơn về khái niệm cũng như cách tính và xác định góc giữa 2 mặt phẳng. Tìm hiểu thêm các kiến thức về học tập theo link bên dưới nhé!